От Андалусии до Нью-Йорка

Авраам ибн Эзра был разносторонним человеком во всех областях человеческого мышления и науки: астрономия, астрология, философия, математика, он также был поэтом, знатоком иврита — основателем его грамматики, и толкователем Танаха.
Почти все свои книги написал ибн Эзра между годами 1140–1161, когда он скитается по странам христианской Европы. Его называют «Авраамом Сефардским», потому что он пишет на иврите, и тем самым является распространителем мудрости евреев Испании и Северной Африки.
Назовём книги, написанные им по следующим темам:
· Построение еврейского календаря: «Сефер ха-Ибур» — «Книга дополнений», написанная и изданная в 1147-48 годах;
· Астрономия: «Книга суждений о звёздах», «Медные инструменты» и «Сборник астрономических таблиц»;
· Астрология: «Решит ха-Хохма» — «Начало мудрости» и «Сефер ха-Теамим» — «Книга обоснований»;
· Математика: «Книга числа», «Книга единицы» и «Корни опасения» (Лондон,1158 год).
Само собой подразумевается, что ибн Эзра был знаком с трудами Бар Хийи, и конечно же был под их влиянием, но, вместе с этим, его работы отличаются большой оригинальностью. Так, например, в математике, он увлекается сочетаниями чисел, подобно пифагорейцам. Он придаёт особые числовые свойства четырём буквам иврита: алеф, хей, вав, йод; высчитывает сумму сочетаний (комбинаторика) пяти небесных планет: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн; загадывает загадки и приводит обоснованные ответы. В своих стихах ибн Эзра описывает места, в которых он побывал и события, оставившие глубокий след в его жизни, например, смерть любимого сына. Собрание этих стихов под названием: «Ковец Хохмат ха-Раба» — «Собрание мудростей Раба» дошло до нас в издании Ахиасаф, 1894 года, Варшава.
Опишем поподробнее математическую книгу ибн Эзра «Книга числа». Она была написана в 1146 году, по-видимому, в Италии. Это полный систематический труд по арифметике. Во введении к нему, ибн Эзра приводит систему счёта математиков Индии. Эта система есть та самая позиционная десятичная система представления чисел, которой мы пользуемся сегодня и в которой числовое значение каждой цифры при записи числа, определяется не только её величиной, но также её местом в числе.
 
Математико-историческое отступление
 
Заметим, что индийские цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0 прибыли в Европу примерно в 10-ом веке, благодаря арабским купцам, их называют иногда — арабские цифры, по праву они должны называться индо-арабские цифры. Кроме того существуют также арабские цифры, которыми пользуются только в арабских странах. Десятая цифра — ноль, обозначает мистическое число, которое начало свое существование простым пробелом в вычислительных дощечках древних культур. Вавилоняне во втором веке до н. э. пользовались двумя клинышками для обозначения незанятого места, и таким образом различали между 706 и 76. Древние индусы, ранее, оставляли пробел в записи чисел, и лишь, в третьем веке до н. э., ноль, как число, появился в индийских научных писаниях. На санскрите он назывался — синния, что обозначает — пусто. Арабы перевели его — сыфр, и через латинское сифриус, ноль появился на разных языках как: зиро, сифер, чифар и т. п. (Читатель может понять откуда появились в русском языке слова: цифра и шифр.) Математики средних веков не могли решить: считать ли ноль числом или нет. Ноль получил свое должное, особое положение, лишь в современной математике.
 
Поскольку ибн Эзра писал математику на иврите, он заменил девять индийских цифр, от 1 до 9, первыми девятью буквами ивритского алфавита: 1- א (алеф), 2- ב (бэт), 3- ג (гимель), 4- ד (далет), 5- ה (хей), 6- ו (вав), 7- ז (заин), 8-ח (хэт) и 9- ט (тэт).
Цифру 0 (ноль) ибн Эзра обозначил кружком и дал ей имя: «галгал» («колесо» на иврите). К примеру, число 1027 имело таковую запись: אoזב, а 7905 — טזoה.
В «Книге числа» ибн Эзра приводит интересную таблицу умножения на 9 с помощью окружности, на которой расположены цифры от 1 до 9. В построении «Книги числа» как учебника отражается личность Авраама ибн Эзра как замечательного учителя и воспитателя. Его дидактические объяснения помогают ученику в понимании теоретического материала и сопровождаются решёнными примерами и указаниями типа: «чтобы ученик понял, нужно сказать так…» Следует заметить, что ибн Эзра предлагает ученику выполнить проверку полученного решения и показывает, как это сделать. Такого мы не находим ни в одной математической книге тех времён.
 
В 1895 году, в переводе на немецкий язык, «Книга числа» была издана во Франкфурте. Таким образом, даже после 750 лет, математическое сочинение ибн Эзры вызывает интерес.
«Книга единицы», дополнительное математическое сочинение ибн Эзры, считается менее значительным. В нем представлены свойства целых чисел от 1 до 9, с точки зрения арифметики, геометрии, астрологии и мистики. «Книга единицы» была также переведена на немецкий язык и издана в Берлине в 1921 году.
Если «Книга числа» представляет собой ясное и последовательное изложение арифметики, то книга «Корни опасения» написана как нравоучение — кратким языком, с намёками типа «понимающий поймёт». Хотя в этой книге также приводятся математические задачи, она, скорее, относится к философии, чем к математике. В ней ибн Эзра помещает свои рассуждения об арифметике и геометрии, а также посвящает целую главу особенным свойствам четырёх букв: א — алеф, ה — хей, ו — вав, י — йод, числовые значения которых, в гиматрии, равны 1, 5, 6 и 10 соответственно. Он приводит геометрическую задачу, в которой числовое значение длины окружности равно числовому значению площади вписанного в эту окружность треугольника. Оказывается, что это равенство соблюдается, когда диаметр окружности равен 10.
В литературно-лингвистическом мире ибн Эзра известен как мастер составления палиндромов. Палиндром — это последовательность знаков, которые смотрятся или читаются одинаково: справа налево и слева направо, или сверху вниз и снизу вверх. Палиндромом может быть число, слово, предложение, совокупность предложений, стих, а также дата, записанная цифрами. Слово палиндром состоит из двух греческих слов: palin — обратно, назад и dromos — бег. Как известно, появились палиндромы в средние века, на разных языках, и в основном считались языковыми забавами, но иногда им приписывали мистические свойства. Примеры палиндромов: madam, Анна, комок, Дом мод, искать такси, 23432, 11022011 (11 февраля 2011 года).
Итак, ибн Эзра обладал искусством составления палиндромов. Один из его известных палиндромов содержит вопрос по поводу прихода мессии:
«אבי אל חי שמך למה מלך משיח לא יבא».
Другой является как бы ответом:
«דעו מאביכם כי לא בוש אבוש, שוב אשוב אליכם כי בא מועד».
А третьему палиндрому сопутствует следующий рассказ. Одна женщина пришла к раввину с горшком мёда, в который попала муха, и спросила, что ей делать с мёдом. Авраам ибн Эзра попросил её прийти за ответом на следующий день. Когда женщина вернулась назавтра, раввин подал ей пергамент, содержащий следующее:
פ ר ש נ ו
ר ע ב ת ן
ש ב ד ב ש
נ ת ב ע ר
ו נ ש ר ף
Мёд, мол, продукт настолько концентрированный, что обезвредил муху, и его кошерность не пострадала. Следует обратить внимание на то, что этот палиндром, записанный в форме квадрата 5×5, читается не только справа налево и слева направо, но и сверху вниз и снизу вверх. Поистине искусство!
 
Математическое отступление о палиндромных числах
 
Ясно, что двухзначных палиндромных чисел всего лишь девять: 11, 22, …, 99. Интересно, сколько существует семизначных палиндромных чисел? Ответ: 9000. Можно вычислить с помощью комбинаторики. А самое интересное, что существует простой способ превращения чисел в палиндромные: выбранное число складывается с числом, записанным в обратном порядке. Эту операцию так и называют: перевернуть и сложить (Reverse-Then-Add). Иногда сразу получается палиндромное число, а иногда нужно повторить данную операцию несколько раз:
 
83 + 38 = 121;
 
57 + 75 =132, 132 + 231 = 363;
 
78 + 87 = 165, 165 + 561 = 726, 726 + 627 = 1353, 1353 + 3531 = 4884;
 
892 +298 = 1190, 1190 + 0911 = 2101, 2101 +1012 = 3113.
 
 
До сегодняшнего дня, никто не указал, для каких чисел этот способ «не работает». Существует гипотеза, что таких чисел немало, и наименьшее из них (кроме нуля) число 196. Известно, что с помощью компьютеров, выполняя сложение примерно десять миллионов раз, не удается превратить число 196 в палиндромное. Но кто знает, может быть это всё-таки возможно.
 
Среди палиндромных есть числа с интересными свойствами.
 
Например, 11. Его первые степени также являются палиндромами:
 
112 = 121, 113 = 1331, 114 = 14641.
 
 
Наряду с палиндромными числами существуют палиндромные даты.
 
Например, такая: 11.11.11.
 
В среду, 20 февраля 2002 года, в 8 часов и 2 минуты вечера, на протяжении всего лишь 60 секунд в мире царила очень интересная палиндромная дата:
 
20:02, 20/02, 2002 — 200220022002
 
Когда будут следующие такие 60 секунд?