Опционы. Полный курс для профессионалов
Кроме вышеперечисленных параметров, в теории хеджирования рассматриваются производные цены опциона по процентной ставке – ро (rho). Для европейского опциона колл на акцию без дивидендов ее значение вычисляется по следующей формуле:
Rho = K × T × e−rT × N(d2),
d2 = [ln(S ÷ K) + (r − σ² ÷ 2) × T] ÷ [σ × √T].
Для опциона пут
Rho = −K × T × e−rT × N(−d2).
Если на акцию выплачиваются дивиденды по ставке q, то величина d2 вычисляется по следующей формуле:
d2 = [ln(S ÷ K) + (r − q − σ² ÷ 2) × T] ÷ [σ × √T].
Из формул следует, что цена европейского опциона колл растет с увеличением процентной ставки, а цена опциона пут, напротив, уменьшается с ростом процентной ставки.
Вопросы
1) Данные в табл. получены путем вычислений по формулам, указанным выше. На основе этих данных рассчитайте отношение тета/премия. Какой вывод можно сделать о зависимости значения тета/премия от величины дельта?
2) Данные в табл. получены по формулам, указанным выше. На основе этих данных рассчитайте отношение вега/премия. Какой вывод можно сделать о зависимости величины вега/премия от дельты?
3) Инвестор продает N = 1000 трехмесячных европейских опционов колл на акцию с непрерывным начислением дивидендов по ставке q = 5 %. Текущая цена акции S = $50, годовая волатильность = 60 %, непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка r = 7 %, цена исполнения опциона K = $60. Сколько акций необходимо приобрести инвестору, чтобы стоимость его портфеля не сильно колебалась при малых изменениях рыночной цены акции?
4) Позиция инвестора состоит из N = 1000 купленных трехмесячных европейских опционов колл на акцию, по которой не платятся дивиденды. Текущая цена акции σ = $40, годовая волатильность = 40 %, непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка r = 6 %, цена исполнения опциона K = $45. Определить, насколько за день уменьшится стоимость позиции при условии неизменности рыночных параметров.
5) Рассмотрим пример с инвестором из упражнения 3 и сформированным им дельта-нейтральным портфелем. Как повлияет на стоимость этого портфеля сильное изменение цены акции?
Ответы
1) На основе данных таблицы можно сделать вывод о том, что у опционов с низкой дельтой отношение тета/премия больше.
2) Из данных таблицы следует, что у опционов с низким значением дельты отношение вега/премия больше.
3) Задача эквивалентна построению дельта-нейтрального портфеля. Дельта опционной позиции инвестора равна
Следовательно, чтобы дельта портфеля оказалась нулевой, инвестору необходимо приобрести на рынке 443 акции.
4) Тета позиции инвестора равна
Таким образом, за день при условии неизменности рыночных параметров стоимость позиции уменьшится на Theta/365 = $18.
5) Поскольку инвестор продал опционы, а гамма позиции в акциях нулевая, то общая гамма портфеля будет отрицательной, и значит, сильные изменения цены акции в любую сторону увеличат стоимость портфеля.
III. Американские опционы. Опционы на фьючерсы, валюты, сырье, акции и облигации
1. Опционы американского стиля
В отличие от европейского опциона, который может быть исполнен лишь в конце своего срока действия, американский опцион может быть исполнен в любой момент на протяжении этого срока.
Один из способов оценки американских опционов заключается в использовании для этого биномиальных деревьев. Рассмотрим метод на примере вычисления цены американского колл-опциона на бездивидендную акцию.
Период действия опциона разобьем на малые отрезки времени длины dT. Предположим, что на каждом таком отрезке цена акции может от своего начального значения S либо с вероятностью p вырасти до Su, u > 1, либо с вероятностью 1 − p упасть до Sd, d < 1. Предположим также, что u = 1/d, т. е. последовательные движения цены акции сперва вверх, а затем вниз компенсируют друг друга.
Значения u и p определяются из вероятностных соображений. В модели Блэка – Шолца цена акции в момент времени t + dT S(t + dT) есть логнормальная случайная величина с параметрами (lnS + (r – σ²/2) × dT, σ × √dt), где S – цена акции в момент t. Исходя из этого можно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины S(t + dT), которые оказываются равными S × er × dT и S² × e2r × dT (eσ² × dT − 1) соответственно.
В рассматриваемой нами модели S(t+dT) представляет собой дискретную случайную величину, с вероятностью p, равную Su, и с вероятностью 1 − p, равную Sd (ее математическое ожидание есть pSu + (1 − p)Sd, а дисперсия pS²u² + [(1 − p)S²d² – S²(pu + (1 − p)d)]. Чтобы такое приближение было наиболее точным, нужно, чтобы у этих двух случайных величин – дискретной и логнормальной совпадали математические ожидания и дисперсии. В таком случае для u, p и d с большой степенью точности выполняются равенства
p = (er× dT − d) /(u – d),
u = 1 /d = eσ × √dT.
Зная значения u и d, можно построить дерево, описывающее возможную динамику цены акции на период действия опциона.
В нулевой вершине стоит цена акции в начальный момент времени – S, i-й ярус дерева соответствует моменту времени i × dT и содержит i + 1 возможную цену акции в этот момент S × uj × di − j, j = 0… Для вычисления цены опциона осуществляется процедура «спуска» по дереву от последнего яруса к нулевому, т. е. от момента исполнения к начальному моменту времени.
В вершинах последнего яруса записаны цены акции в момент исполнения опциона, из которых легко получить стоимость опциона в момент исполнения по формуле max[(S(T) – K)]. Зная цену опциона на (s + 1) – м ярусе, можно найти его цену на s-м ярусе, т. е. в предыдущий момент времени. Продемонстрируем это на примере.
Пусть уже вычислена цена опциона в точках Suu и Sud – X и Y соответственно. В точке Su у покупателя опциона есть две возможности: либо немедленно исполнить опцион и получить прибыль A = max(Su − K,0), либо не исполнять его, и тогда через время dT с вероятностью p он будет стоить X и с вероятностью (1 − p) – Y, а значит, дисконтированная на текущий момент времени средняя ожидаемая стоимость есть B=e−r×dT × (p × X + (1 − p) × Y). Поскольку покупатель опциона стремится максимизировать свою прибыль, он, разумеется, выберет наиболее выгодный из этих вариантов, поэтому цена опциона в точке Su будет равна max(A,B).
Двигаясь от яруса к ярусу по этому алгоритму, мы в конечном итоге найдем интересующую нас цену опциона в начальный момент времени.
На практике для установления точной цены достаточно 19–21 итераций (ветвей дерева). Дальнейшие итерации незначительно уточняют цену, но замедляют расчеты.
2. Опционы на валюту
В случае опционов на валюту роль непрерывно начисляемых дивидендов играет ставка доходности в валюте – rf. Формула для цены опциона на валюту получается из формулы цены опциона колл на акцию с дивидендами (см. приложение I) простой заменой q на rf.